Reality Check

Jak jechałem dziś z KRK do domu to próbowałem coś policzyć, ale że mi nie wychodziło to spojrzałem na inny, dość dobrze znany "problem".
Policzyłem i chyba dobrze, ale nie jestem pewien ;-)

Jest tak. Kowalski ma 2 sztuki dzieci, wiemy, że co najmniej jedno z tych dzieci to dziewczynka.
Jaka jest szansa, że Kowalski ma 2 córki?

A teraz inaczej, Kowalski ma 2 sztuki dzieci, młodsze to dziewczynka.
Jaka jest szansa, że Kowalski ma 2 córki?

Na chłopski rozum w obu przypadkach odpowiedź powinna być taka sama i powinna wynosić 1/2, ale tak nie jest.

W pierwszym przypadku mamy szansę tego, że Kowalski ma 2 córki równą... 1/3.

W drugim przypadku jest to już 1/2.

Teraz sprawdzamy ;-)

W pierwszym przypadku wiemy, że kowalski ma 2 sztuki dzieci i jedno z nich to dziewczynka.
Mając 2 dzieci można mieć dwie córki, dwóch synów, córką i syna oraz syna i córkę. Ponieważ normalnie szansa na córkę albo syna wynosi mniej więcej 1/2 to każdy z 4 przypadków jest równie prawdopodobny. Czyli normalnie tylko 1 na 4 "parki" dzieci będą dwiema córkami.
Czyli, skoro Kowalski ma 2 sztuki dzieci, a jedno z nich to córka to wiemy, że ma jeden z przypadków:
- CC - dwie córki
- CS - córka i syn
- SC - syn i córka
Każdy z tych przypadków jest równie prawdopodobny, czyli 2 córki będzie miał w 1/3 przypadków.

W drugim przypadku wiemy, że ma 2 sztuki dzieci i że młodsze to dziewczynka.
Wtedy z 4 możliwych układów zostają nam:
- CC - dwie córki, młodsza i starsza to dziewczynki
- SC - syn i córka, syn starszy, córka młodsza
Oba przypadki są równie prawdopodobne, więc wiemy, że Kowalski ma 50% szans na to, że ma 2 córki.

Możemy to zaatakować jeszcze Bayesem (od tego się zaczęło, ale nie umiałem sobie czegoś innego policzyć i w końcu to zacząłem liczyć i mi wyszły dziwne wyniki i przez parę kilometrów, może nawet 20km (8 i pół minuty z hakiem ;-)) próbowałem to policzyć ;-)

P(ma dwie córki|ma córkę) - prawdopodobieństwo, że ma 2 córki pod warunkiem, że ma co najmniej 1 córkę z dwójki dzieci

P(ma dwie córki|ma córkę) = P(ma córkę|ma dwie córki)*P(ma dwie córki)/P(ma córkę)

P(ma córkę) = 3/4 - bo mając 2 dzieci w 3 przypadkach na 4 będzie miał chociaż 1 córkę (odpada tylko sytuacja gdy ma 2 synów)
P(ma dwie córki) = 1/4 - bo mając 2 dzieci można tylko w 1/4 przypadków mieć 2 córki
P(ma córkę|ma dwie córki) = 1 - co oczywiste, skoro ma 2 córki to ma córkę

Podstawiamy:
P(ma dwie córki|ma córkę) = 1*1/4/(3/4) = 1/4*4/3 = 1/3

Czyli, prawdopodobieństwo, że Kowalski ma 2 córki gdy wiemy, że ma co najmniej 1 wynosi 1/3.

W drugim przypadku jest tak:

P(ma dwie córki|ma córkę, która jest młodszym dzieckiem z 2) = P(ma córkę która jest młodszym dzieckiem z 2|ma dwie córki)*P(ma dwie córki)/P(ma córkę, która jest młodszym dzieckiem z 2)

P(ma córkę, która jest młodszym dzieckiem z 2) = 1/2 - bo z 4 możliwych układów pasują tylko 2, gdy ma 2 córki, albo gdy ma starszego syna i młodszą córkę
P(ma dwie córki) = 1/4

Podstawiamy:
P(ma dwie córki|ma córkę, która jest młodszym dzieckiem z 2) = 1*1/4/(1/2) = 1/4*2 = 1/2

Czyli, Kowalski ma dwie córki, pod warunkiem, że jego młodsze dziecko jest córką w 1/2 przypadków.

Zgadza się? ;-)
Bo w trakcie jazdy jakoś miałem problemy z liczeniem tego.

#toBlogger

[Go to original post on Google+]

Podobne posty^beta
Ku pamięci - iteracyjna wersja twierdzenia Bayesa ;-)
Jak się czuje włączając Windowsa...
Dlaczego nie zgadzamy się na powszechny dostęp do broni?
Jak Henryk VIII i Dynastia Tudorów uczy, że demokracja is the best! ;-)
Now książki "na kolejce"